正弦定理的几种证明方法(正弦定理常见的证明方法)-必威
正弦定理的几种证明方法(正弦定理常见的证明方法)
正弦定理：设三角形的三边为abc，他们的对角分别为abc，外接圆半径为r，则称关系式a/sina=b/sinb=c/sinc为正弦定理。
正弦定理的几种证明方法
正弦定理的证明方法有很多种，以下是其中几种常见的证明方法：
方法一：利用三角形的面积公式
证明：设三角形的外接圆半径为r，则三角形的面积s为：
s=1/2acsinb=1/2bcsina=1/2absinc
由正弦定理可知：
sina=a/2r，sinb=b/2r，sinc=c/2r
将sina、sinb、sinc代入面积公式得：
s=1/(4r2)acimes(a/2r)imes(b/2r)imes(c/2r)=abc/8r2
因为三角形的面积是定值，所以abc=8r2，即a/sina=b/sinb=c/sinc=2r。
方法二：利用余弦定理
证明：设三角形的三边长分别为a、b、c，对应角分别为a、b、c，则有：
cosa=(b^2 c^2-a^2)/(2bc)，cosb=(a^2 c^2-b^2)/(2ac)，cosc=(a^2 b^2-c^2)/(2ab)
将上述三个式子相乘得：
cosa×cosb×cosc=(b^2 c^2-a^2)/(2bc)×(a^2 c^2-b^2)/(2ac)×(a^2 b^2-c^2)/(2ab)
由于cosa、cosb、cosc的乘积是常数，因此可以得出：
a/sina=b/sinb=c/sinc
方法三：利用向量数量积
证明：设三角形的三边长分别为a、b、c，对应角分别为a、b、c，则有：
|ba|×|bc|×cosb=(|ab|×|ac|)×cos(π-a)
由于cosb和cos(π-a)都不为0，因此可以得出：
|ba|/|bc|=|ac|/|ab|=sina/sinc
同理可以得出：
|ba|/|ab|=sinb/sina
|bc|/|ac|=sinc/sinb
因此可以得出：
a/sina=b/sinb=c/sinc
方法四：利用正弦定理的推论
证明：由正弦定理可知，在任意三角形abc中，有：
a=2rimessina
b=2rimessinb
c=2rimessinc
所以可以得出：
a/sina=b/sinb=c/sinc
正弦定理的公式是什么
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2。
在直角三角形中，∠a(非直角)的对边与斜边的比叫做∠a的正弦，故记作sina，即sina=∠a的对边/∠a的斜边 古代说法，正弦是股与弦的比例。
古代说的“勾三股，四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜边。
股就是人的大腿，长长的，古人称直角三角形中长的那个直角边为“股”;正方的直角三角形，应是大腿站直。
正弦是∠α(非直角)的对边与斜边的比值，余弦是∠a(非直角)的邻边与斜边的比值。
勾股弦放到圆里。弦是圆周上两点连线。
最大的弦是直径。 把直角三角形的弦放在直径上，股就是长的弦，即正弦，而勾就是短的弦，即余弦。
按现代说法，正弦是直角三角形某个角(非直角)的对边与斜边之比，即：对边/斜边。
高中数学正弦定理公式
数学正弦定理公式：a/sina=b/sinb=c/sinc=2r;余弦定理公式：cos a=(b? c?-a?)/2bc。
正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
一、正弦定理推论公式
1、a=2rsina;b=2rsinb;c=2rsinc。
2、a:b=sina:sinb;a:c=sina:sinc;b:c=sinb:sinc;a:b:c=sina:sinb:sinc。
二、余弦定理推论公式
1、cosa=(b^2 c^2-a^2)/2bc;2、cosb=(a^2 c^2-b^2)/2ac;3、cosc=(a^2 b^2-c^2)/2ab。
三、正弦定理的运用：
1、已知三角形的两角与一边，解三角形。
2、已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形。
3、运用a：b：c=sina：sinb：sinc解决角之间的转换关系。
四、余弦定理的运用：
1、当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
2、当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。
3、当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的面积。
正弦定理的证明方法四种
正弦定理的证明方法有很多种，以下是四种常见的证明方法：
方法一：利用三角形的面积公式
证明：设三角形的外接圆半径为r，则三角形的面积s为：
s=1/2acsinb=1/2bcsina=1/2absinc
由正弦定理可知：
sina=a/2r，sinb=b/2r，sinc=c/2r
将sina、sinb、sinc代入面积公式得：
s=1/(4r2)acimes(a/2r)imes(b/2r)imes(c/2r)=abc/8r2
因为三角形的面积是定值，所以abc=8r2，即a/sina=b/sinb=c/sinc=2r。
方法二：利用余弦定理
证明：设三角形的三边长分别为a、b、c，对应角分别为a、b、c，则有：
cosa=(b^2 c^2-a^2)/(2bc)，cosb=(a^2 c^2-b^2)/(2ac)，cosc=(a^2 b^2-c^2)/(2ab)
将上述三个式子相乘得：
cosa×cosb×cosc=(b^2 c^2-a^2)/(2bc)×(a^2 c^2-b^2)/(2ac)×(a^2 b^2-c^2)/(2ab)
由于cosa、cosb、cosc的乘积是常数，因此可以得出：
a/sina=b/sinb=c/sinc
方法三：利用向量数量积
证明：设三角形的三边长分别为a、b、c，对应角分别为a、b、c，则有：
向量ba与向量bc的数量积为：
|ba|×|bc|×cosb=(|ab|×|ac|)×cos(π-a)
由于cosb和cos(π-a)都不为0，因此可以得出：
∣ba∣/∣bc∣=∣ac∣/∣ab∣=sina/sinc
同理可以得出：
∣ba∣/∣ab∣=sinb/sina
∣bc∣/∣ac∣=sinc/sinb
因此可以得出：
a/sina=b/sinb=c/sinc
方法四：利用正弦定理的推论
证明：由正弦定理可知，在任意三角形abc中，有：
a=2rimessina
b=2rimessinb
c=2rimessinc
所以可以得出：
a/sina=b/sinb=c/sinc
求正弦定理的推导
在△abc中,设ab⊥cd
cd=a·sinb
cd=b·sina
∴a·sinb=b·sina
得到
a/sina=b/sinb
同理，在△abc中，
b/sinb=c/sinc
常见的初中数学公式
1 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行
9 同位角相等,两直线平行
10 内错角相等,两直线平行
11 同旁内角互补,两直线平行
12两直线平行,同位角相等
13 两直线平行,内错角相等
14 两直线平行,同旁内角互补
15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论 三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18 推论1直角三角形的两个锐角互余
19 推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角